OpenAI「ミレニアム懸賞問題を解いた」——前夜に声明を出した数学者が争っているもの

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OpenAI が9月8日、「ミレニアム懸賞問題のひとつ、ナビエ–ストークス方程式の問題を自社のAIが解いた」と発表しました。クレイ数学研究所が2000年に賞金100万ドルを懸けた7つの難問のうち、これまで解かれたのは1つだけ。もし本当なら、2つめが人間ではなくAIの手で解かれたことになります。

ところが、その発表の前夜に、ニューヨーク大学の数学者 Tristan Buckmaster 氏が長い声明を出していました。相棒は Anthropic に勤める数学者 Levent Alpöge 氏。二人は同じ方程式の仲間について、1年がかりで似た結果を出したところでした。そして声明には、「私たちの進み方が OpenAI に伝わったあとで、OpenAI は同じ道筋を採った」という主張が書かれています。OpenAI はこれを否定しています。

AIが数学で何をしたのかという話に、「誰の手柄か」という争いが重なった格好です。順番に整理します。

ナビエ–ストークス方程式と「爆発」

ナビエ–ストークス方程式は、水や空気の流れを記述する式です。19世紀にナビエとストークスがそれぞれ導いたもので、飛行機の設計、天気予報、血流の研究まで、流れを扱う計算はだいたいこの式に基づいています。

式の中身は、ニュートンの運動方程式（力＝質量×加速度）を、流体に当てはめたものです。ただし流体を「分子の集まり」としては見ず、切れ目なくつながった連続した物体として扱います。ここに、問題の根があります。

クレイ数学研究所が問うたのは、こういうことです。最初はなめらかに流れていた3次元の流体が、この方程式に従って動いていくうちに、有限の時間で破綻することはあるのか。破綻とは、流れの速さがある一点で無限大に跳ね上がってしまうことで、専門用語では「爆発（blow-up）」と呼びます。現実の水や空気が無限の速さで動くことはありえないので、もし爆発が起きるなら、それは「方程式が現実を写しきれなくなる場面がある」ことを意味します。

1934年にジャン・ルレーが「ゆるい意味での解は必ず存在する」ことを示して以来、なめらかな解がずっと保たれるのか、それとも壊れるのかは、およそ90年間わかっていませんでした。

問題文に用意された4つの選択肢

ここで、あとの話に効いてくる点をひとつ押さえておきます。クレイ研究所の公式の問題文には、答え方が4通り書かれています。

（A）と（B）は「壊れないことを証明せよ」。外から力を加えない流体について、なめらかな解がいつまでも存在することを示せば解決です。（C）と（D）は逆で、「壊れることを証明せよ」。こちらは、なめらかな外力を加え続けてもよいという条件のもとで、有限時間で爆発する例をひとつ作れば解決になります。（A）（C）が無限に広がる空間、（B）（D）が周期的な空間、という違いです。

OpenAI が今回主張しているのは、（C）と（D）です。つまり、「なめらかな力で押し続けると、静止した流体から出発しても、有限時間で速さが無限大になる例がある」というものです。多くの人が思い浮かべる「何もしなくても勝手に壊れるか」という問い（A）（B）については、今回の発表では触れられていません。問題文の書き方として（C）を示せば正式な解決になる、というのは事実ですが、「外力あり」の設定であることは覚えておいてください。

OpenAI が公開した中身

OpenAI の説明によると、証明を作ったのは社内で訓練中の未公開モデルです。同社は9月1日に「ミレニアム懸賞問題が2つ解かれたらしい」という噂を耳にし、そのモデルにミレニアム懸賞問題を片端から当たらせる作戦を始めました。

やり方は力ずくです。同じモデルで動く多数のAIエージェントをグループに分け、問題文の（A）〜（D）それぞれの版を別のグループに渡して、グループ内で相談させながら探索させました。ナビエ–ストークスに当たったグループは、同時に動くエージェントがおよそ1万。全問題を通してやりとりしたメッセージは490万件、出力したトークンは約3,000億にのぼるといいます。

先に片づいたのは、少し易しい問題でした。ナビエ–ストークス方程式から粘性の項を取り除いた「オイラー方程式」で、外力なしの爆発を示したというものです。そこからナビエ–ストークス本体に人手（というかエージェント）を集中させ、最初のエージェントを走らせてから約88時間後の9月5日に解に到達。定理証明支援系 Lean での形式化と検証に、さらに17時間かかったとしています。

見つかった解は、渦です。流体が内側へ渦巻きながら、スパゲッティのように細く長く引き伸ばされ、中心部分が縮みつつ加速していく。そのあいだ、流体全体のエネルギーは有限のままです。方程式に含まれる加速度・圧力・粘性といった項がどれも巨大になりながら、互いに打ち消し合って、外力だけはなめらかに保たれる。この釣り合いを作るのが技術的な山場だった、と OpenAI は書いています。

証明の本文と Lean のコードは公開されています。Lean で通ったということは、証明の各ステップに論理の飛びがないことを機械が確かめた、という意味です。ただし、Lean で確かめられるのは「書かれた命題が書かれた仮定から導けるか」であって、「その命題がクレイの問題の解決になっているか」という解釈の部分は、人間の数学者が読んで判断することになります。

前夜の声明

ここからが、この話のもうひとつの側です。

OpenAI の発表の前日、9月7日に、Buckmaster 氏と Alpöge 氏は論文を3本公開しました。非圧縮多孔質媒質の式、ブシネスク方程式、そして3次元の非圧縮オイラー方程式について、それぞれ「なめらかな外力あり」の設定で有限時間の爆発を示した、というものです。Lean での検証も済んでいます。

Buckmaster 氏の声明を読むと、二人の歩みがわかります。取り組みは1年ほど前から。長く足踏みが続いたあと、8月15日にブシネスクとオイラーの両方で爆発の結果が出て、8月22日に Lean で検証が通った。それ以降は、AIが出した証明を人が読める形に書き直す作業に追われていたそうです。使ったのは Anthropic の Claude と OpenAI の Codex で、直近では OpenAI の Astra も執筆と監査に使ったと明記しています。

声明で Buckmaster 氏が最初に強調しているのは、自分たちの手柄ではないという点です。「外力を加えて爆発を作る」という攻め筋は、スペインの数学者 Diego Córdoba 氏と Luis Martínez-Zoroa 氏が数年かけて開いてきたもので、二人はその道筋を AI の助けを借りて「なめらかな外力」と「オイラー方程式」まで押し進めたにすぎない、と書いています。

そして、こう続きます。この「外力あり」というルートは、ほとんど誰も選んでいなかった。問題文をモデルに渡して数日で自然に行き着くような方向ではない。だから OpenAI から「forced（外力あり）」という言葉を聞いたとき、赤信号だと思った——というのが、Buckmaster 氏の主張の核心です。

争点は「正しさ」ではなく「順番と道筋」

ここで、OpenAI 自身のページに戻ります。同社は「9月1日に噂を聞いて着手した」と自分で書いています。そしてその噂が、あとから Alpöge 氏と Buckmaster 氏の仕事に関わるものだったとわかった、とも書いています。さらに、二人の「外力ありオイラー」の結果については優先権を認め、祝意を表しています。

つまり、「二人の仕事の存在を知った時点から、OpenAI の取り組みが始まった」ことと、「OpenAI のナビエ–ストークスの証明が、二人と同じ外力ありの道筋を通っている」ことは、OpenAI 側の説明と Buckmaster 氏の説明で食い違っていません。争われているのは、その先です。

Buckmaster 氏の側の主張はこうです。9月6日の日曜、OpenAI の Sébastien Bubeck 氏との通話で、「問題文を渡しただけ」「人の関与はごくわずか」と説明されたが、話が進むうちに、チームで取り組んでいたこと、先にオイラーなど易しい問題に当たらせていたこと、見せられたプロンプトも Codex に書かせたものだったことが明らかになった。最初のプロンプトをいつ送ったのかという質問には、なかなか答えが返ってこなかった。自分たちが Codex に入れてきた草稿がモデルの学習や参照に使われたのかを尋ねたが、学習については答えがなかった。

声明には、公開の仕方についての提案も書かれています。ひとつは、二人がオイラーの結果を出した翌日に OpenAI がナビエ–ストークスを出す案。もうひとつは、Buckmaster 氏が単独で OpenAI の結果を論文にまとめる案。後者では Alpöge 氏を著者から外すよう求められた、と Buckmaster 氏は書いています。理由は、Alpöge 氏が Anthropic の社員だから。そして、公にすると告げたところ「なぜ自分のキャリアを台無しにするのか」と言われた、とも。

Bubeck 氏は、これらを否定しています。記者向けの説明では、「彼らのプロンプトも証明も、我々のモデルに与えていない」「二人の優先権は認める」と述べました。SNS では一連の主張を「虚偽で扇動的」と呼び、のちに出した詳しい反論では、著者から外すよう求めたのは Alpöge 氏自身の論文についてではなく、OpenAI の証明を Buckmaster 氏が書き直す案に Alpöge 氏が加わることを不適切だと考えた、という説明をしています。キャリアに関する発言については、言葉が悪かったとして謝罪しています。

データについては、OpenAI の公式ページに慎重な書き方の一文があります。研究者もエージェントも、二人の仕事が公開されるまで一切見ていない。特定のユーザーのデータにも当たっていない。ただし、二人が OpenAI の製品を使ったことで生じた匿名化データが、モデルの改善に寄与した可能性は「ありそうにないが、排除はできない」。そして、自分たちの証明は二人のものと大きく異なり、オイラーについては示した命題そのものが違う（OpenAI は外力なし、二人は外力あり）、と付け加えています。

この「道筋を知ったうえで同じ道を走ったのか、それとも偶然か」は、外から確かめる手段がほとんどありません。AI が出したアイデアの出どころは、Scientific American の記事が書くとおり、たどるのが難しいものです。

まだ確定していないこと

整理すると、いま言えるのは次のことです。

OpenAI の証明は公開されており、Lean での検証を通ったと同社は言っています。ただし査読は受けておらず、数学者たちが中身を読んで「これはクレイの（C）を満たしている」と認めるかどうかは、これからです。声明のなかで、この攻め筋の生みの親である Córdoba 氏は「もし本当なら、我々にとって大きな驚きだ」と、判断を留保しています。クレイ数学研究所の所長も「数学の理解の大きな前進が発表される日を迎え、心躍る」という趣旨の言葉にとどめています。なお OpenAI は、今回の結果で懸賞金を請求するつもりはない、と書いています。

同じ9月7日には、カリフォルニア工科大学の Anima Anandkumar 氏らも、粘性ゼロのオイラー方程式の爆発を、大規模言語モデルではなく物理法則を組み込んだニューラルネットワークで示したと発表しています。この問題のまわりに、いま複数のチームが同時に到達しつつある、ということです。

Buckmaster 氏は声明の中で、本来言いたかったのは別のことだ、と書いています。結果そのものより大事なのは、「数学者ひとりと大規模言語モデルが、1か月でここまでやれるようになった」という事実で、学生の育て方、手柄の分け方、査読のあり方まで、数学界はゆっくり腰を据えて考え直す必要がある——という趣旨です。手柄の争いは、その議論を始める前に、いちばん先に噴き出してしまいました。

ひとつ書き添えておきます。このブログの記事は、Anthropic の Claude を使って作っています。今回の当事者の一方が Anthropic の社員である点は、そのことを踏まえて読んでください。この記事では、OpenAI の公式ページ、Buckmaster 氏の声明、Nature と Scientific American の報道にそれぞれ当たり、双方の主張をそのまま並べる形にしました。

画像について

この記事の画像は AI（ChatGPT）で作った想像図で、ご自由にお使いいただけます。お使いになるときは、出典としてこの記事へのリンクを載せていただけるとうれしいです。

出典

OpenAI の発表：On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem（2026年9月8日。証明の本文と Lean コードへのリンクあり）

Buckmaster 氏の声明（PDF）：Tristan Buckmaster, Statement

Nature の報道：OpenAI claims huge maths breakthrough on a famed ‘Millennium Problem’（Davide Castelvecchi、2026年9月8日）

Scientific American の報道：OpenAI claims blockbuster math breakthrough amid swirl of controversy（Joseph Howlett、2026年9月8日）

クレイ数学研究所の問題文（PDF）：Existence and Smoothness of the Navier–Stokes Equation