AIが示した流体方程式の破綻は、現実の空気では何を意味するのか

9月8日、OpenAI が「ナビエ–ストークス方程式は破綻しうる」という証明を公開しました。ナビエ–ストークス方程式は、水や空気の流れを記述する19世紀生まれの式で、天気予報から飛行機の設計まで広く使われています。この式に従って計算を進めると、ごく普通の状態から出発した流れが、有限の時間のうちに「無限の速度」に達する場合がある。それが証明の中身です。クレイ数学研究所が100万ドルの賞金を懸けたミレニアム懸賞問題のひとつに、AIが答えを出したことになります。

発表のあと話題になったのは、AIの数学の力がどこまで来たのか、手柄は誰のものか、といった点でした。けれども、もっと素朴な疑問が残っています。流体の速度が無限になるというのは、現実の水や空気にとって何を意味するのか。Nature が9月18日に載せた記事は、この疑問に物理の側から答えようとしたものです。

先に立場を書いておきます。このブログの記事は、Anthropic 社のAI「Claude」を使って書いています。今回の証明をめぐっては、Anthropic のモデルを使って近い結果を得ていた数学者たち（うち1人は Anthropic の社員と報じられています）と OpenAI とのあいだで、貢献の帰属をめぐる議論が続いています。つまり、うちは片方の当事者の製品を使っている立場です。そのうえで、この記事では帰属の話には立ち入らず、物理の話だけを扱います。

「無限の速度」が現れる場面

OpenAI の証明が扱っているのは、渦が引き伸ばされていく場面です。渦は引き伸ばされると細くなり、細くなるほど回転が速くなります。フィギュアスケートの選手が腕をたたむと回転が上がるのと同じ理屈です。方程式の上では、この「細くなる・速くなる」が止まらなくなり、ある時刻で渦の幅がゼロに、速度が無限大に達します。数学ではこの点を特異点と呼びます。

念のため補うと、今回の証明は、なめらかな外力が流体に加わっている設定でのものです。何も手を加えない流れがひとりでに破綻するかどうかは、まだ決着していません。証明はコンピュータで検証できる形式（Lean）でも公開されていますが、数学者による査読はこれからで、OpenAI 自身も懸賞金は請求しないとしています。

70ナノメートルという数字の出どころ

数学の上では、渦は幅ゼロまで細くなります。では現実の流体なら、その途中のどこで話がおかしくなるのか。これを具体的な数字にしたのが、ブラウン大学の応用数学者 George Karniadakis 氏です。OpenAI の証明に含まれる数字ではなく、証明を受けて Karniadakis 氏が自分で見積もったものです。

同氏の計算によると、空気の場合、渦の幅がおよそ70ナノメートルになったところで特異点が現れます。1ナノメートルは100万分の1ミリなので、70ナノメートルは髪の毛の太さのおよそ1000分の1にあたります。

この70ナノメートルは、空気にとって特別な長さです。空気の分子は絶えず飛び回り、互いにぶつかり合っています。ある分子が1回ぶつかってから次にぶつかるまでに進む距離の平均を「平均自由行程」といい、地上の空気ではこれがちょうど70ナノメートル前後になります。特異点が現れる渦の幅は、空気の分子が1回の衝突のあいだに進む距離と同じ程度だった、ということです。

破綻したのは流体ではなく、連続体という前提

この一致は偶然ではない、と Karniadakis 氏は見ています。

ナビエ–ストークス方程式は、流体を「どこまで拡大してもなめらかにつながっている物質」として扱います。これを連続体近似といいます。実際の空気や水は分子の集まりですが、コップの水や翼のまわりの空気を考えるとき、分子ひとつひとつを追う必要はありません。膨大な数の分子をならして、密度や速度といった平均的な量で語れば十分で、しかも驚くほど正確です。ナビエ–ストークス方程式が150年以上も現役でいられるのは、この近似が日常の尺度ではほぼ完璧に成り立つからです。

ただし、ならすには相手の数が要ります。渦の幅が平均自由行程と同じくらいまで細くなると、その幅のなかで分子どうしはほとんどぶつからず、「平均的な速度」という量そのものが意味を失います。そこはもう分子ひとつひとつの振る舞いが支配する領域で、連続体として扱う前提が成り立ちません。

つまり、方程式が無限の速度を吐き出す場所は、方程式を使ってよい範囲の外側にありました。現実の空気が無限の速さで回りはじめるわけではありません。渦がそこまで細くなる手前で、流体を連続体と見なす近似のほうが先に切れます。破綻するのは空気ではなく、空気の描き方です。

数学の問題としての価値が下がるわけではありません。ミレニアム懸賞問題が問うているのは「この方程式そのものが、どんな場合でもなめらかな解を持ち続けるか」であって、現実の水がどう振る舞うかではないからです。数学の答えと物理の答えが別々にあり、今回はその両方が少しずつ見えてきた、という整理になります。

以前から知られていた方程式の限界

ナビエ–ストークス方程式が現実を描ききれない場面は、これまでにも知られていました。

ミレニアム懸賞問題が対象にしているのは、押しても縮まない「非圧縮性」の流体です。水のような液体はこれでよく表せます。一方、空気のように押せば縮む「圧縮性」の流体については、対応する方程式から特異点が生じうることがすでに分かっていました。プリンストン大学の数学者でフィールズ賞受賞者の Charles Fefferman 氏が Nature にそう説明しています。Fefferman 氏は、クレイ数学研究所の公式な問題文を書いた本人でもあります。

希薄な気体も苦手です。宇宙船が大気圏の上層に再突入するときや、顕微鏡サイズの細い流路をわずかな流体が通るときには、分子どうしの間隔や衝突の少なさが効いてきて、連続体近似が最初から当てになりません。70ナノメートルの渦で起きることは、こうした既知の限界と同じ種類の話です。

分子の側から流体を描く方法

連続体として扱えないなら、分子の集まりとして扱うしかありません。その代表がボルツマン方程式で、気体を無数の分子の集団とみなし、その振る舞いを統計的に記述します。

では、ナビエ–ストークス方程式の破綻はボルツマン方程式にとって何を意味するのか。今年のフィールズ賞をボルツマン方程式の研究で受けたシカゴ大学の Yu Deng 氏は、7月の時点で Nature に対し、それはまだはっきりしないと答えていました。ボルツマン方程式のほうも、特定の状況では原理的に破綻しうるとのことで、理解はまだごく限られているそうです。この発言は OpenAI の発表より前のものなので、今回の証明への論評ではない点に注意が要ります。

もうひとつの道は、分子ひとつひとつの運動をコンピュータで直接計算することです。こちらは計算量が壁になります。2024年にはスーパーコンピュータで水分子1550億個を同時に追うシミュレーションが行われ、当時の記録になりました。それでも水の量としては、一辺がマイクロメートル単位の立方体に収まる程度です。コップ1杯にはとても届きません。

そこで実際の研究では、尺度ごとに道具を使い分ける方法が採られています。いちばん小さな領域は分子の運動を直接計算し、大きな領域はナビエ–ストークス方程式に任せ、そのあいだは分子をいくつかまとめて平均的に扱う中間の方程式でつなぐ。Karniadakis 氏はこれを「トリプルデッカー（三段重ね）」と呼んでいます。

「無限」が示していたもの

物理の方程式が無限大を返すとき、それは多くの場合「自然が無限になる」という予言ではなく、「この式はここから先では使えない」という合図です。今回の70ナノメートルという見積もりは、その合図がどの尺度で出ているのかを具体的な数字で示しました。

なお、この数字は Karniadakis 氏による空気についての見積もりで、Nature のニュース記事の中で紹介されたものです。査読を経た論文として発表されたものではなく、OpenAI の証明そのものも数学者による検証の途中にあります。どちらも今後の検証で修正される可能性があることを踏まえて読むのがよさそうです。